【题目】已知函数f(x)=lnx+mx(m为常数).
(1)讨论函数f(x)的单调区间;
(2)当 时,设 的两个极值点x1 , x2(x1<x2)恰为h(x)=2lnx﹣ax﹣x2的零点,求 的最小值.
【答案】
(1)解: ,x>0,
当m<0时,由1+mx>0,解得 ,
即当 时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
由1+mx<0解得 ,即当 时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当m=0时, ,即f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当m>0时,1+mx>0,故f'(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增.
所以当m<0时,f(x)的单调递增区间为 ,单调递减区间为 ;
当m≥0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞)
(2)解:由 得 ,
由已知x2+mx+1=0有两个互异实根x1,x2,
由根与系数的关系得x1+x2=﹣m,x1x2=1,
因为x1,x2(x1<x2)是h(x)的两个零点,
故 ① ②
由②﹣①得: ,
解得 ,
因为 ,得 ,
将 代入得:
= = ,
所以 ,
设 ,因为 ,
所以 ,所以 ,
所以 ,所以t≥2.
构造 ,得 ,
则 在[2,+∞)上是增函数,
所以 ,即 的最小值为
【解析】(1)求出函数的导数,通过讨论m的范围,求出函数的单调区间即可;(2)求出函数的导数,得到x1+x2=﹣m,x1x2=1,求出 的解析式,根据函数的单调性求出其最小值即可.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题.
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【题目】已知正项等比数列的前项和为,首项,且,正项数列满足,.
(1)求数列,的通项公式;
(2)记,是否存在正整数,使得对任意正整数,恒成立?若存在,求正整数的最小值,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+),则下面结论正确的是( )
A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
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【题目】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 | |||||||
频数 | 1 | 3 | 2 | 4 | 9 | 26 | 5 |
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 | ||||||
频数 | 1 | 5 | 13 | 10 | 16 | 5 |
(1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图:
(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率;
(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)
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【题目】已知函数f(x)=|4x﹣a|+|4x+3|,g(x)=|x﹣1|﹣|2x|.
(1)解不等式g(x)>﹣3;
(2)若存在x1∈R,也存在x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点的直角坐标为,曲线的极坐标方程为,直线过点且与曲线相交于,两点.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)若,求直线的直角坐标方程.
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【题目】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表,即杨辉三角,这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中,已知第行的所有数字之和为,若去除所有为1的项,依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,……,则此数列的前56项和为( )
A. 2060B. 2038C. 4084D. 4108
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