Question

已知向量

a

=（cosx，y），

b

=（

3

sinx+cosx，-1）（x，y∈R）且

a

•

b

=0
（1）求y与x的函数关系y=f（x）的表达式；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求满足f（x）=1的x值．

Answer 1

分析：（1）由

a

•

b

=0，以及两角和差的三角公式可得 y=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，从而求得f（x）的解析式．
（2）由f（x）=1，可得sin（2x+

π

6

）=

1

2

．再由x∈[0，

1

2

π]求得x的值．

解答：解：（1）由

a

•

b

=

3

sinxcosx+cos²x-y=0，可得
y=

3

sinx?cosx+cos²x=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=sin（2x+

π

6

）+

1

2

∴f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

．
（2）∵f（x）=1，∴sin（2x+

π

6

）=

1

2

．
 又∵x∈[0，

1

2

π]，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴2x+

π

6

=

π

6

或2x+

π

6

=

5π

6

，
∴x=0或

π

3

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两角和差的三角公式的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．