Question

关于y=f（x），给出下列五个命题：
①若f（-1+x）=f（1+x），则y=f（x）是周期函数；
②若f（1-x）=-f（1+x），则y=f（x）为奇函数；
③若函数y=f（x-1）的图象关于x=1对称，则y=f（x）为偶函数；
④函数y=f（1+x）与函数y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称；
⑤若f（1-x）=f（1+x），则y=f（x）的图象关于点（1，0）对称．
填写所有正确命题的序号

①③

．

Answer 1

分析：根据周期函数的定义进行判定选项①的真假，根据函数的对称性进行判定选项②④⑤的真假，根据函数的奇偶性判定选项③的真假，从而得到结论．

解答：解：①若f（-1+x）=f（1+x），则f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期函数，周期为2，故①正确；
②若f（1-x）=-f（1+x），则f（x+1）+f（1-x）=0∴y=f（x）关于点（1，0），故②不正确；
③若函数y=f（x-1）的图象关于x=1对称，则f（x）的图象关于y轴对称，故y=f（x）为偶函数，故③正确；
④函数y=f（1+x）与函数y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称，设y=f（x）=x，则y=f（1-x）=1-x，y=f（x+1）=x+1，是关于x=0对称；④不正确；
⑤若f（1-x）=f（1+x），则y=f（x）的图象关于x=1对称，故⑤不正确．
故答案为：①③

点评：本题主要考查了函数的周期性，以及函数的对称性和函数图象与性质，考查的知识点较多，属于基础题．