Question

已知顶点在原点，焦点在x轴的负半轴的抛物线截直线y=x+

3

2

所得的弦长|P₁P₂|=4

2

，求此抛物线的方程．

Answer 1

考点：抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：抛物线y²=2px，p＜0，联立

y2=2px y=x+ 3 2

，得x²+（3-2p）x+

9

4

=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能注出抛物线方程．

解答： 解：抛物线y²=2px，p＜0，直线y=x+

3

2

，联立

y2=2px y=x+ 3 2

，得x²+（3-2p）x+

9

4

=0，
根据韦达定理有x₁+x₂=2p-3，x1x2=

9

4

，
|P₁P₂|=4

2

，|P₁P₂|²=32，
∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=32，
由直线方程，得y₁-y₂=x₁-x₂，
∴（x₁-x₂）²+（x₁-x₂）²=32，∴（x₁-x₂）²=16，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16，∴（2p-3）²-9=16，
∴（2p-3）²=25，p＜0，∴2p-3=-5，解得p=-1，
∴抛物线方程为y²=-2x．

点评：本题考查抛物线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．