Question

如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AF=1，M是线段EF的中点．
（1）证明：CM∥平面DFB
（2）求异面直线AM与DE所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）设正方形的对角线AC和BD相交于点O，由条件证明MF和CO平行且相等，四边形COFM为平行四边形，故CM∥OF，再由直线和平面平行的判定定理证得 CM∥平面DFB．
（2）建立空间直角坐标系，求得点C、点A、点E、，点D、点M的坐标，可得

AM

和

DE

的坐标，以及|

AM

|、|

DE

|和

AM

•

DE

的值．再利用两个向量的夹角公式求得

AM

、

DE

的夹角θ 的余弦值，再取绝对值，即得所求．

解答：解：（1）设正方形的对角线AC和BD相交于点O，∵M为的中点，ACEF为矩形，故MF和CO平行且相等，
故四边形COFM为平行四边形，故CM∥OF，
而OF?平面DFB，CM不在平面DFB内，∴CM∥平面DFB．
（2）以点C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，则点C（0，0），点A（

2

，

2

，0），点E（0，0，1），
点D（

2

，0，0），点M（

2

2

，

2

2

，1），
∴

AM

=（-

2

2

，-

2

2

，1），

DE

=（-

2

，0，1），|

AM

|=

2

，|

DE

|=

3

，

AM

•

DE

=1+0+1=2．
设

AM

、

DE

的夹角为θ，cosθ=

AM • DE

|AM |•| DE |

=

2

2 • 3

=

6

3

，故异面直线AM与DE所成的角的余弦值为

6

3

．

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求异面直线所成的角的余弦值，两个向量的夹角公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．