Question

（2010•福建模拟）如图，l₁、l₂是两条互相垂直的异面直线，点P、C在直线l₁上，点A、B在直线l₂上，M、N分别是线段AB、AP的中点，且PC=AC=a，PA=

2

a．
（Ⅰ）证明：PC⊥平面ABC；
（Ⅱ）设平面MNC与平面PBC所成的角为θ（0°＜θ≤90°）．现给出下列四个条件：
①CM=

1

2

AB；②AB=

2

a；③CM⊥AB；④BC⊥AC．
请你从中再选择两个条件以确定cosθ的值，并求之．

Answer 1

分析：（I）在△PAC中根据PC=AC=a，PA=

2

a，三边满足勾股定理则PC⊥AC，根据题意可知PC⊥AB，又AC∩AB=A，满足线面垂直的判定定理，从而得证；
（II）本小问具有开放性，选择②④可确定cosθ的大小，根据AC⊥BC，且AB=

2

a，AC=a则BC=a，以C为坐标原点，

CB

、

CA

、

CP

的方向为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，

CA

=（0，a，0）是平面PBC的一个法向量，然后求出平面MNC的法向量

n

，然后根据cos＜

n

，

CA

＞=

n • CA

|n| •  |CA|

，从而求出cosθ的值．

解答：证明：（I）在△PAC中∵PC=AC=a，PA=

2

a．
∴PC²+AC²=PA²，∴PC⊥AC
∵l₁、l₂是两条互相垂直的异面直线，点P、C在直线l₁上，点A、B在直线l₂上，
∴PC⊥AB，又AC∩AB=A
∴PC⊥平面ABC
（II）选择②④可确定cosθ的大小
∵AC⊥BC，且AB=

2

a，AC=a
∴BC=a
以C为坐标原点，

CB

、

CA

、

CP

的方向为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系
则C（0，0，0），B（a，0，0），A（0，a，0），P（0，0a）
又M、N分别是线段AB、AP的中点，
∴M（

a

2

，

a

2

，0），N（0，

a

2

，

a

2

）
∵CA⊥平面PBC
∴

CA

=（0，a，0）是平面PBC的一个法向量
设平面MNC的法向量

n

=（x，y，z）
由

n ⊥ CN n ⊥ CM

得

a 2 y+ a 2 z=0 a 2 x+ a 2 y=0

取x=1，得

n

=（1，-1，1）为平面MNC的一个法向量
∴cos＜

n

，

CA

＞=

n • CA

|n| •  |CA|

=

-a

3 a

=-

3

3

∴cosθ=

3

3

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及用空间向量求平面间的夹角，同时考查了开放性问题，属于中档题．