【题目】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足sin2B+sin2C=sin2A+2sinBsinCsin(B+C). (Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若a=2,求△ABC面积的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)sin2B+sin2C=sin2A+2sinBsinCsin(B+C), 由正弦定理可得 b2+c2=a2+2bcsinA,
由余弦定理可得 b2+c2﹣a2=2bcsinA,
∴cosA=sinA,
∴tanA=1,
∵A∈(0,π),
∴A=
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得b2+c2=4+ bc,
∵b2+c2≥2bc,
∴4+ bc≥2bc,当且仅当b=c时取等号,
即bc≤ =4+2 ,
∴S△ABC= bcsinA= bc≤ +1,
∴△ABC面积的最大值 +1.
【解析】(1)由条件利用正弦定理可得 b2+c2=a2+2bcsinA,再由余弦定理可得cosA=sinA,即可求出A,(Ⅱ)根据基本不等式求出bc≤4+2 ,再根据三角形的面积公式计算即可
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【题目】某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究,他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资料:
日期 | 3月1日 | 3月2日 | 3月3日 | 3月4日 | 3月5日 |
温差x(℃) | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽数y(颗) | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
(1)请根据3月2日至3月4日的数据,求出y关于x的线性回归方程;
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠?
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【题目】如图,四边形ABCD为矩形,四边形ADEF为梯形,AD//FE,∠AFE=60,且平面ABCD⊥平面ADEF,AF=FE=AB==2,点G为AC的中点.
(1)求证:EG//平面ABF;
(2)求三棱锥B-AEG的体积.
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【题目】如图所示,在以为直径的半圆周上,有异于的六个点,直径上有异于的四个点.则:
(1)以这12个点(包括)中的4个点为顶点,可作出多少个四边形?
(2)以这10个点(不包括)中的3个点为顶点,可作出多少个三角形?
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:x2=4y,点P是C的准线l上的动点,过点P作C的两条切线,切点分别为A,B,则△AOB面积的最小值为( )
A.
B.2
C.2
D.4
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【题目】某农科所发现,一中作物的年收获量y(单位:kg)与它”相近“作物的株数x具有线性相关关系(所谓两株作物”相近“是指它们的直线距离不超过1m),并分别记录了相近作物的株数为1,2,3,5,6,7时,该作物的年收获量的相关数据如下:
X | 1 | 2 | 3 | 5 | 6 | 7 |
y | 60 | 55 | 53 | 46 | 45 | 41 |
(Ⅰ)求该作物的年收获量y关于它”相近“作物的株数x的线性回归方程;
(Ⅱ)农科所在如图所示的正方形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点)处都种了一株该作物,其中每一个小正方形的面积为1,若在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.(注:年收获量以线性回归方程计算所得数据为依据)
附:对于一组数据(x1 , y1),(x2 , y2),…,(xn , yn),其回归直线y=a+bx的斜率和截距的最小二乘估计分别为 = = , = ﹣ .
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【题目】在中,给出如下命题:
①是所在平面内一定点,且满足,则是的垂心;
②是所在平面内一定点,动点满足,,则动点一定过的重心;
③是内一定点,且,则;
④若且,则为等边三角形,
其中正确的命题为_____(将所有正确命题的序号都填上)
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为,( 为参数),为曲线上的动点,动点满足(且),点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程,并说明是什么曲线;
(2)在以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 点的极坐标为,射线与的异于极点的交点为,已知面积的最大值为,求的值.
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