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设f(logax)=
a(x2-1)x(a2-1)
,(a>0,a≠1)

求证:
(1)过函数y=f(x)图象上任意两点直线的斜率恒大于0;
(2)f(3)>3.
分析:(1)先用换元法求出函数f(x)的解析式,要证过函数y=f(x)图象上任意两点直线的斜率恒大于0,只需证明函数f(x)为增函数即可,用单调性定义可证明;
(2)代入解析式化简可得,f(3)=a2+
1
a2
+1,运用基本不等式即可证明,注意等号不等取到;
解答:证明:(1)令t=logax,则x=at,f(t)=
a
a2-1
(at-a-t)
(t∈R),
∴f(x)=
a
a2-1
(ax-a-x)
(x∈R),
设x1<x2,f(x1)-f(x2)=
a(ax1-ax2)(ax1+x2+1)
(a2-1)ax1+x2

(1)当a>1时,因为x10,ax1-ax2<0
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
(2)当0<a<1时,因为a2-1<0,ax1-ax2>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
∴x1<x2时,恒有f(x1)<f(x2),∴K=
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>0,
故过函数y=f(x)图象上任意两点直线的斜率恒大于0;
(2)f(3)=
a
a2-1
(a3-a-3)
=
a(a6-1)
a3(a2-1)
=
a4+a2+1
a2
=a2+
1
a2
+1≥2
a2
1
a2
+1=3,
∵a>0,a≠1,∴a2
1
a2
,∴上述不等式不能取等号,
∴f(3)>3.
点评:本题考查函数解析式的求法,考查单调性的判断及直线斜率问题,考查基本不等式的应用,具有一定综合性,属中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设f(logax)=
a(x2-1)x(a2-1)

(1)求f(x)的表达式,并判断f(x)的奇偶性;
(2)试证明:函数f(x)的图象上任意两点的连线的斜率大于0;
(3)对于f(x),当x∈(-1,1)时,恒有f(1-m)+f(1-m2)<0求m的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

设f(logax)=数学公式
求证:
(1)过函数y=f(x)图象上任意两点直线的斜率恒大于0;
(2)f(3)>3.

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科目:高中数学 来源:《函数概念与基本处等函数I》2013年高三数学一轮复习单元训练(北京邮电大学附中)(解析版) 题型:解答题

设f(logax)=
求证:
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(2)f(3)>3.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设f(logax)=
a(x2-1)
x(a2-1)
,(a>0,a≠1)

求证:
(1)过函数y=f(x)图象上任意两点直线的斜率恒大于0;
(2)f(3)>3.

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