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    六名学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核．每个项目只有一次补考机会，补考不合格者不能进入下一个项目的训练（即淘汰），若每个学生身体体能考核合格的概率是
    1
    2
    ，外语考核合格的概率是
    2
    3
    ，假设每一次考试是否合格互不影响．
    ①求某个学生不被淘汰的概率．
    ②求6名学生至多有两名被淘汰的概率．
    ③假设某学生不放弃每一次考核的机会，用ζ表示其参加补考的次数，求随机变量ζ的分布列和数学期望．
    分析：①正面：分别求出两个项目都不补考能通过概率，两个项目中有一个项目要补考才能通过的概率，两个项目都要补考才能通过的概率，三个相加可求出某个学生不被淘汰的概率．
    ②6名学生至多有两名被淘汰的概率有三种情形，没有被淘汰，有一个被淘汰，有两个被淘汰，求出三个概率和即可；
    ③ζ表示其参加补考的次数，取值可能为0，1，2，然后分别求出相应的概率，最后利用数学期望公式解之即可．
    解答：解：①正面：两个项目都不补考能通过概率：P1=
    1
    2
    ×
    2
    3
    =
    1
    3

    两个项目中有一个项目要补考才能通过的概率：P2=(1-
    1
    2
    )×
    1
    2
    ×
    2
    3
    +
    1
    2
    ×(1-
    2
    3
    )×
    2
    3
    =
    5
    18
    ，
    两个项目都要补考才能通过的概率：P3=(1-
    1
    2
    )×
    1
    2
    ×(1-
    2
    3
    )×
    2
    3
    =
    1
    18

    ∴P=P1+P2+P3=
    1
    3
    +
    5
    18
    +
    1
    18
    =
    12
    18
    =
    2
    3

    ②P=
    C
    0
    6
    (
    1
    3
    )0(
    2
    3
    )6+
    C
    1
    6
    (
    1
    3
    )1(
    2
    3
    )5+
    C
    2
    6
    (
    1
    3
    )2(
    2
    3
    )4=
    496
    729

    ③P(ξ=0)=
    1
    2
    ×
    2
    3
    =
    1
    3

    P(ξ=1)=
    1
    2
    ×
    1
    2
    +
    1
    2
    ×
    1
    3
    +
    1
    2
    ×
    1
    2
    ×
    2
    3
    =
    7
    12

    P(ξ=2)=(
    1
    2
    )2×
    1
    3
    ×1=
    1
    12

    ξ 0 1 2
    P
    1
    3
    7
    12
    1
    12
    Eξ=0×
    1
    3
    +1×
    7
    12
    +2×
    1
    12
    =
    3
    4
    点评：本题主要考查了离散型随机变量的期望，以及相互独立事件的概率，同时考查了计算能力，属于基础题．
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    1
    2
    ，外语考核合格的概率是
    2
    3
    ，假设每一次考试是否合格互不影响．
    （Ⅰ）求某个学生不被淘汰的概率．
    （Ⅱ）求6名学生至多有两名被淘汰的概率．
    （Ⅲ）假设某学生不放弃每一次考核的机会，用ζ表示其参加补考的次数，求随机变量ζ=1的概率．

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    ①求某个学生不被淘汰的概率。

    ②求6名学生至多有两名被淘汰的概率

    ③假设某学生不放弃每一次考核的机会，用表示其参加补考的次数，求随机变量的分布列和数学期望。

     

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    （Ⅰ）求某个学生不被淘汰的概率。
    （Ⅱ）求6名学生至多有两名被淘汰的概率
    （Ⅲ）假设某学生不放弃每一次考核的机会，用表示其参加补考的次数，求随机变量的概率。

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    （Ⅱ）求6名学生至多有两名被淘汰的概率．
    （Ⅲ）假设某学生不放弃每一次考核的机会，用ζ表示其参加补考的次数，求随机变量ζ=1的概率．

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