Question

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，其中F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，M是C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF₂|=

5

3

．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆C₁上，对角线BD所在的直线的斜率为1．
①当直线BD过点（0，

1

7

）时，求直线AC的方程；
②当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据右焦点F₂也是拋物线C₂：y²=4x的焦点，且|MF₂|=

5

3

，可求出F₂，根据抛物线的定义可求得点M的横坐标，并代入抛物线方程，可求其纵坐标；把点M代入椭圆方程，以及焦点坐标，解方程即可求得椭圆C₁的方程；
（2）①直线BD所在的直线的斜率为1，且过点（0，

1

7

），可求出BD的方程，∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，设直线ACy=-x+m，联立消去y，得到关于x的一元二次方程，△＞0，利用韦达定理即可求得AC的中点，在直线BD上，可求直线AC的方程；②ABCD为菱形，且∠ABC=60°，∴|AB|=|BC|=|CA|，菱形ABCD面积的最大值，转化为求弦AC的最大值，利用韦达定理求出AC的长度，并求其最大值即可．

解答：解：（1）设M（x₁，y₁）∵F2(1，0)|MF2| =

5

3

．
由抛物线定义，x1+1=

5

3

，∴x1=

2

3

∵

y

2 1

=4x1，∴y1=

2 6

3

．
∴M(

2

3

，

2 6

3

)∵M在c₁上，

4

9a2

+

8

3b2

=1，又b²=a²-1
∴9a⁴-37a²+4=0∴a²=4或a2=

1

9

＜c2舍去．
∴a²=4，b²=3
∴椭圆c₁的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）①直线BD的方程为y=x+

1

7

∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，设直线AC为y=-x+m，
由

x2 4 + y2 3 =1 y=-x+m

，得7x²-8mx+4m²-12=0
∵A，C、在椭圆C₁上，∴△＞0解得(-

7?

，＜m＜

7?

)，
设A（x₁，y₁），c（x₂，y₂），
则x1+x2=

8m

7

，x1x2=

4m2-12

7

，
y1 =-x1+m2y2=-x2+m2∴y1+y2=

6m

7

，AC的中点坐标为(

4m

7

，

3m

7

)．
由ABCD为菱形可知，点(

4m

7

，

3m

7

)在直线y=x+

1

7

上，
∴

3m

7

=

4m

7

+

1

7

，m=-1∈(-

7

，

7

)．
∴直线AC的方程为y=-x-1
即x+y+1=0．
②∵ABCD为菱形，且∠ABC=60°，
∴|AB|=|BC|=|CA|，
∴菱形ABCD的面积
S=

3

2

|AC|2=

3

2

[(x1-x2)2+(y1-y2)2]

3

2

 •2[(x1+x2)2-4x1x2]

3

(

64m2

49

-4

4m2-12

7

)
=

48 3

49

(7-m2 )，(-

7

，＜m＜

7

)．
∴当m=0时，菱形ABCD的面积取得最大值

48 3

7

．

点评：此题是个难题．考查抛物线的定义和简单的几何性质，待定系数法求椭圆的标准方程，以及直线和椭圆相交中的有关中点弦的问题，综合性强，特别是问题（2）的设问形式，增加了题目的难度，注意直线与圆锥曲线相交，△＞0．体现了数形结合和转化的思想方法．