Question

如图，设P₀是抛物线y=x²上一点，且在第一象限．过点P₀作抛物线的切线，交x轴于Q₁点，过Q₁点作x轴的垂线，交抛物线于P₁点，此时就称P₀确定了P₁．依此类推，可由P₁确定P₂，…．记P_n（x_n，y_n），n=0，1，2，…．给出下列三个结论：
①x_n＞0；
②数列{x_n}为单调递减数列；
③对于?n∈N，?x₀＞1，使得y₀+y₁+y₂+…+y_n＜2．
其中所有正确结论的序号为

①②③

．

Answer 1

分析：求出过点P_n作抛物线的切线方程为y-xn2=2xn(x-xn)，证明数列{x_n}为公比为

1

2

的等比数列，即可得到结论．

解答：解：记P_n（x_n，y_n），则
∵抛物线y=x²，∴y′=2x，
∴过点P_n作抛物线的切线方程为y-xn2=2xn(x-xn)，即y=2xnx-xn2
令y=0，则0=2xnxn+1-xn2，∴xn+1=

1

2

xn
∴数列{x_n}为公比为

1

2

的等比数列
∵P₀是抛物线y=x²上一点，且在第一象限，
∴x_n＞0；数列{x_n}为单调递减数列；
y₀+y₁+y₂+…+y_n=x02+x12+…+xn2=

x02•[1-( 1 4 )n]

1- 1 4

∴0＜x₀＜

6

2

时，y₀+y₁+y₂+…+y_n＜2．
∴?x₀＞1，使得y₀+y₁+y₂+…+y_n＜2．
故正确结论的序号为①②③
故答案为：①②③．

点评：本题考查数列与解析几何的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．