Question

（Ⅰ）已知奇函数f（x）（x∈R），当x＞0时，f（x）=x（5-x）+1，求f（x）在R上的表达式．
（Ⅱ）设定义在[-2，2]上的偶函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，若f（1-m）＜f（m），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据奇函数在0处有定义则f（0）=0，又假设x＜0则-x＞0满足题目中给的条件可得f（-x）的关系式，再由奇函数定义得到x＜0时函数f（x）的解析式，最终得到答案．
（2）根据偶函数在对称区间上的单调性可得f（|1-m|）＜f（|m|），再由在区间[0，2]上单调递减可得关系式进而解题．

解答：解：因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0．
当x＜0时，-x＞0，故有f（-x）=-x[5-（-x）]+1=-x（5+x）+1．
所以f（x）=-f（-x）=x（5+x）-1．
所以f(x)=

x(5-x)+1(x＞0) 0(x=0) x(5+x)-1(x＜0).

（2）因为f（x）是偶函数，所以f（x）=f（|x|），
所以不等式f（1-m）＜f（m）?f（|1-m|）＜f（|m|）．
又f（x）在区间[0，2]上单调递减，
所以

|1-m＞|m -2≤1-m≤2 -2≤m≤2.

解得-1≤m＜

1

2

．

点评：（1）主要考查根据函数奇偶性求函数解析式的问题，切忌莫忘x=0时的情况．
（2）主要考查根据函数奇偶性解不等式的问题，这里要注意在对称区间上奇函数单调性相同、偶函数单调性相反．