Question

已知过曲线上任意一点作直线的垂线，垂足为,且.
⑴求曲线的方程；
⑵设、是曲线上两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，
当变化且为定值时，证明直线恒过定点，
并求出该定点的坐标.

Answer 1

⑴ 
⑵当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.

试题分析：⑴要求曲线方程,但是不知道是哪种曲线,所以只能设点.根据,转化为求曲线方程即可;
⑵要证明直线恒过定点,必须得有直线方程,所以首先设出直线方程.又因为两个角是直线和的倾斜角,所以点也得设出来.利用韦达定理,然后讨论的范围变化,证明并得出定点坐标.
试题解析：⑴设，则，由得，;
即;所以轨迹方程为;
⑵设，由题意得（否则）且,
所以直线的斜率存在，设其方程为，
因为在抛物线上,所以，
将与联立消去，得;
由韦达定理知①;
(1)当时，即时，,所以，
,所以.由①知：,所以
因此直线的方程可表示为，即.
所以直线恒过定点
(2)当时，由，得==
将①式代入上式整理化简可得：，所以，
此时，直线的方程可表示为,
即,所以直线恒过定点;
所以由(1)(2)知，当时，直线恒过定点，
当时直线恒过定点.           12分