Question

（2012•浙江）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=

2

3

，sinB=

5

cosC．
（1）求tanC的值；
（2）若a=

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由A为三角形的内角，及cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再将已知等式的左边sinB中的角B利用三角形的内角和定理变形为π-（A+C），利用诱导公式得到sinB=sin（A+C），再利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用同角三角函数间的基本关系即可求出tanC的值；
（2）由tanC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosC的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，将sinC的值代入sinB=

5

cosC中，即可求出sinB的值，由a，sinA及sinC的值，利用正弦定理求出c的值，最后由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）∵A为三角形的内角，cosA=

2

3

，
∴sinA=

1-cos2A

=

5

3

，
又

5

cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

5

3

cosC+

2

3

sinC，
整理得：

2 5

3

cosC=

2

3

sinC，
则tanC=

5

；
（2）由tanC=

5

得：cosC=

1 sec2C

=

1 1+tan2C

=

1 1+5

=

6

6

，
∴sinC=

1-cos2C

=

30

6

，
∴sinB=

5

cosC=

30

6

，
∵a=

2

，∴由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：c=

asinC

sinA

=

2 × 30 6

5 3

=

3

，
则S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×

2

×

3

×

30

6

=

5

2

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．