Question

已知对任意x∈R，都有x³-2x²-x+2=（x+a）（x+b）（x+c），且a＞b＞c时，
（1）求实数a，b，c的值；
（2）求函数f（x）=ax²+2bx+c在[0，3]的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）对x³-2x²-x+2因式分解，再由a＞b＞c即可得到实数a，b，c的值；
（2）由（1）知，函数图象开口方向及对称轴，判断出函数在[0，3]的单调性，即可得到其值域．
解答：解：（1）由于x³-2x²-x+2=（x+1）（x-1）（x-2）知，
（x+a）（x+b）（x+c）=（x+1）（x-1）（x-2），
由于a＞b＞c，得到a=1，b=-1，c=-2
（2）由（1）知f（x）=ax²+2bx+c=x²-2x-2=（x-1）²-3
则函数的图象开口方向向上，对称轴为x=1，
故函数f（x）在[0，1]上为减函数，在（1，3]上为增函数
则f（x）在[0，3]上最小值为-3，最大值为1
故函数f（x）在[0，3]的值域为[-3，1]．
点评：本题考查二次函数的图象和性质，特别是对二次函数值域的考查是重点．