Question

11．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且$\frac{c-b}{c-a}$=$\frac{sinA}{sinC+sinB}$．
（1）求角B的大小；
（2）如果b=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理得$\frac{c-b}{c-a}$=$\frac{a}{c+b}$．整理得：c²+a²-b²=ac，由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，结合范围0＜B＜π，即可求B的值．
（2）由（1）可得：a²+c²=ac+4，又a²+c²≥2ac，可得ac≤4，由三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵由正弦定理得，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∴$\frac{c-b}{c-a}$=$\frac{sinA}{sinC+sinB}$=$\frac{a}{c+b}$．可得：c²-b²=ac-a²，整理得：c²+a²-b²=ac
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，0＜B＜π，
∴$B=\frac{π}{3}$…（6分）
（2）$cosB=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-4}{2ac}=\frac{1}{2}$，∴a²+c²=ac+4…（8分）
又∴a²+c²≥2ac，所以ac≤4，当且仅当a=c取等号．…（10分）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB$≤\sqrt{3}$，
∴△ABC为正三角形时，S_max=$\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式的综合应用，属于基本知识的考查．