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11.在△ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且$\frac{c-b}{c-a}$=$\frac{sinA}{sinC+sinB}$.
(1)求角B的大小;
(2)如果b=2,求△ABC面积的最大值.

分析 (1)由正弦定理得$\frac{c-b}{c-a}$=$\frac{a}{c+b}$.整理得:c2+a2-b2=ac,由余弦定理可得:cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$,结合范围0<B<π,即可求B的值.
(2)由(1)可得:a2+c2=ac+4,又a2+c2≥2ac,可得ac≤4,由三角形面积公式即可得解.

解答 解:(1)∵由正弦定理得,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
∴$\frac{c-b}{c-a}$=$\frac{sinA}{sinC+sinB}$=$\frac{a}{c+b}$.可得:c2-b2=ac-a2,整理得:c2+a2-b2=ac
∴由余弦定理可得:cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$,0<B<π,
∴$B=\frac{π}{3}$…(6分)
(2)$cosB=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-4}{2ac}=\frac{1}{2}$,∴a2+c2=ac+4…(8分)
又∴a2+c2≥2ac,所以ac≤4,当且仅当a=c取等号.…(10分)
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB$≤\sqrt{3}$,
∴△ABC为正三角形时,Smax=$\sqrt{3}$.…(12分)

点评 本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式,基本不等式的综合应用,属于基本知识的考查.

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