Question

如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问

PQ

与

BC

的夹角θ取何值时

BP

•

CQ

的值最大？并求出这个最大值．

Answer 1

分析：要求

PQ

与

BC

的夹角θ取何值时

BP

•

CQ

的值最大，我们有两种思路：
法一：是将向量

PQ

与

BC

根据向量加减法的三角形法则，进行分析，分解成用向量

AP

、

AQ

、

AC

、

AB

表示的形式，然后根据|

AP

|=|

AQ

|=a，

AC

⊥

AB

即

AC

•

AB

=0，构造一个关于cosθ的式子，然后根据cosθ的取值范围，分析出

BP

•

CQ

的最大值；
法二：是以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．求出各顶点的坐标后，进而给出向量

BP

与

CQ

的坐标，然后利用平面向量的数量值运算公式，构造一个关于cosθ的式子，然后根据cosθ的取值范围，分析出

BP

•

CQ

的最大值．

解答：解：如下图所示：
解法一：∵

AB

⊥

AC

，∴

AB

•

AC

=0．
∵

AP

=-

AQ

，

BP

=

AP

-

AB

，

CQ

=

AQ

-

AC

，
∴

BP

•

CQ

=(

AP

-

AB

)•(

AQ

-

AC

)
=

AP

•

AQ

-

AP

•

AC

-

AB

•

AQ

+

AB

•

AC

=-a2-

AP

•

AC

+

AB

•

AP

=-a2+

1

2

PQ

•

BC

=-a²+a²cosθ．
故当cosθ=1，即θ=0（

PQ

与

BC

方向相同）时，

BP

•

CQ

最大．其最大值为0．
解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系．
设|AB|=c|AC|=b，则A（0，0），B（c，0），C（0，b），
且|PQ|=2a，|BC|=a．
设点P的坐标为（x，y），则Q（-x，-y）．
∴

BP

=(x-c，y)，

CQ

=(-x，-y-b)，

BC

=(-c，b)，

PQ

=(-2x，-2y)．
∴

BP

•

CQ

=(x-c)(-x)+y(-y-b)
=-（x²+y²）+cx-by．
∵cosθ=

PQ • BC

| PQ |•| BC |

=

cx-by

a2

．
∴cx-by=a²cosθ．
∴

BP

•

CQ

=-a2+a2cosθ．
故当cosθ=1，
即θ=0（

PQ

与

BC

方向相同）时，

BC

•

CQ

最大，其最大值为0．

点评：本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力．