Question

已知函数f（x）满足：①对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；②当x∈（1，2]时，f（x）=2-x．若f（a）=f（2020），则满足条件的最小的正实数a是

 

．

Answer 1

分析：取x∈（2^m，2^m+1），则

x

2m

∈（1，2]；f（

x

2m

）=2-

x

2m

，从而f（x）=2^m+1-x，根据f（2020）=f（a）进行化简，设a∈（2^m，2^m+1）则f（a）=2^m+1-a=28求出a的取值范围．

解答：解：取x∈（2^m，2^m+1），则

x

2m

∈（1，2]；f（

x

2m

）=2-

x

2m

，从而
f（x）=2f（

x

2

）=…=2^mf（

x

2m

）=2^m+1-x，其中，m=0，1，2，…
f（2020）=2¹⁰f（

2020

1024

）=2¹¹-2020=28=f（a）
设a∈（2^m，2^m+1）则f（a）=2^m+1-a=28
∴a=2^m+1-28∈（2^m，2^m+1）
即m≥5即a≥36
∴满足条件的最小的正实数a是36
故答案为：36

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了计算能力，分析问题解决问题的能力，转化与划归的思想，属于中档题．