Question

（2013•湖南模拟）设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，离心率为

1

2

，在x轴负半轴上有一点B，且

BF2

=2

BF1

．
（1）若过A、B、F₂三点的圆恰好与直线x-

3

y-3=0相切，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据

c

a

=

1

2

，得c=

1

2

a，所以|F₁F₂|=a，利用

BF2

=2

BF1

，可得F₁为BF₂的中点，从而可得△ABF₂的外接圆圆心为F1(-

a

2

，0)，半径r=|F₁A|=a，根据过A、B、F₂三点的圆与直线x-

3

y-3=0相切，利用点到直线的距离公式，即可确定椭圆方程；
（2）由（1）知F₂（1，0），设l的方程为：y=k（x-1）与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合菱形对角线垂直，所以(

PM

+

PN

)•

MN

=0，可得m，k之间的关系，从而可得结论．

解答：解：（1）由题意

c

a

=

1

2

，得c=

1

2

a，所以|F₁F₂|=a
∵|AF₁|=|AF₂|=a，

BF2

=2

BF1

，∴F₁为BF₂的中点，
∴|AF₁|=|AF₂|=|F₁F₂|=a
∴△ABF₂的外接圆圆心为F1(-

a

2

，0)，半径r=|F₁A|=a…（3分）
又过A、B、F₂三点的圆与直线x-

3

y-3=0相切，所以

|- 1 2 a-3|

2

=a
∴a=2，∴c=1，b²=a²-c²=3．
∴所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1…（6分）
（2）由（1）知F₂（1，0），设l的方程为：y=k（x-1）
将直线方程与椭圆方程联立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，整理得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=

8k2

3+4k2

 ，  y1+y2=k(x1+x2-2)…（8分）
假设存在点P（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，
由于菱形对角线垂直，所以(

PM

+

PN

)•

MN

=0
又

PM

+

PN

=(x1-m，y1)+(x2-m，y2)=(x1+x2-2m， y1+y2)
又MN的方向向量是（1，k），故k（y₁+y₂）+x₁+x₂-2m=0，则k²（x₁+x₂-2）+x₁+x₂-2m=0，
即k2(

8k2

3+4k2

-2)+

8k2

3+4k2

-2m=0
由已知条件知k≠0且k∈R，
∴m=

k2

3+4k2

=

1

3 k2 +4

…（11分）
∴0＜m＜

1

4

，
故存在满足题意的点P且m的取值范围是(0，

1

4

)…（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆方程，正确运用韦达定理是关键．