Question

【题目】如图，在半径为常量，圆心角为变量的扇形内作一内切圆，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆外切的小圆，设圆的半径为，则的半径为.

（1）求的取值范围；

（2）求圆面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）在直角三角形中，即可用表示圆的半径，同理可以表示出，相加可得，再根据对勾函数的性质求得其取值范围；

（2）令，，利用导数的性质能求出圆的半径的最大值即可求出面积的最大值．

解：（1）如图，在直角三角形中

因为半径为1，所以，所以

在直角三角形中

因为半径为1，所以，所以

，，

即

（2）由（1）可知

令，则，

令，得，

当时，，即在上单调递增；

当时，，即在上单调递减；

所以当时取得极大值即最大值，

即存在为锐角，当时，圆半径取得最大值．

所以