Question

（2008•成都二模）如图，已知边长为2的正三角形ABC中线AF与中位线DE相交于点G，将此三角形沿DE折成二面角A₁-DE-B，设二面角A₁-DE-B的大小为θ，则当异面直线A₁E与BD的夹角为60°时，cosθ的值为（　　）

• A．-

  1

  2

• B．

  1

  2

• C．-

  1

  3

• D．

  1

  3

Answer 1

分析：由△ABC为等边三角形，AF为中线，知AF⊥BC．由DE为中位线，知BC∥DE，DE⊥AG，且DE⊥GF，故∠A₁GF是二面角A₁-DE-B的平面角，即∠A₁GF=θ．由正△ABC的边长为2，知AE=BD=1，A1G=GF=

1

2

AF=

3

2

，由异面直线A₁E与BD的夹角为60°，知∠A₁EF=60°，A₁F=1，由cosθ=

A1G2+GF2-A1F2

2A1G•GF

能求出cosθ的值．

解答：解：∵△ABC为等边三角形，AF为中线
∴AF⊥BC
又∵DE为中位线，∴BC∥DE
∴AF⊥DE
即DE⊥AG，且DE⊥GF
∵沿着DE翻折
∴DE⊥A₁G
∵DE⊥AG，DE⊥GF，A₁G∩AG=G
∴DE⊥平面A₁GF
∴A₁G⊥DE，FG⊥DE，
∴∠A₁GF是二面角A₁-DE-B的平面角，
即∠A₁GF=θ．
∵正△ABC的边长为2，
∴AE=BD=1，A1G=GF=

1

2

AF=

3

2

，
连接EF，∵AE=EC=1，BF=FC=1，
∴EF

∥ .

.

BD，
∵异面直线A₁E与BD的夹角为60°，
∴∠A₁EF=60°，
∴△A₁EF是边长为1的等边三角形，
∴A₁F=1，
∴cosθ=

A1G2+GF2-A1F2

2A1G•GF

=

3 4 + 3 4 -1

2× 3 2 × 3 2

=

1

3

．
故选D．

点评：本题考查二面角的余弦值的求法，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．