Question

8．若曲线y=ax²+$\frac{b}{x}$（a，b为常数）过点P（2，-5），且该曲线在点P处的切线与直线2x-7y+3=0垂直，则a+b的值等于-3．

Answer 1

分析 由曲线y=ax²+$\frac{b}{x}$（a，b为常数）过点P（2，-5），且该曲线在点P处的切线与直线2x-7y+3=0垂直，可得y|_x=2=-5，且y′|_x=2=-$\frac{7}{2}$，解方程可得答案．

解答 解：∵直线2x-7y+3=0的斜率k=$\frac{2}{7}$，
∴切线的斜率为-$\frac{7}{2}$，
曲线y=ax²+$\frac{b}{x}$（a，b为常数）过点P（2，-5），且该曲线在点P处的切线与直线2x-7y+3=0垂直，
∴y′=2ax-$\frac{b}{{x}^{2}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+\frac{b}{2}=-5}\\{4a-\frac{b}{4}=-\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，b=-2，
故a+b=-3，
故答案为：-3

点评 本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|_x=2=-5，且y′|_x=2=-$\frac{7}{2}$，是解答的关键．