Question

（2008•徐汇区二模）设F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，若动点P（x，y）满足|

PF1

|+|

PF2

|=4．
（1）求动点P的轨迹方程；（2）求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由于点P满足|PF₁|+|PF₂|为常数，且大于线段|F₁F₂|的长，P的轨迹是椭圆，再根据椭圆的标准方程求解动点P的轨迹方程；
（2）由

PF1

•

PF2

=x2+y2-3=

1

4

(3x2-8)，写出其定义域，利用函数思想求最大值和最小值即可．

解答：解：（1）由椭圆定义易得动点P的轨迹方程为

x2

4

+y2=1；------（6分）
（2）由

PF1

•

PF2

=x2+y2-3=

1

4

(3x2-8)，
∵x∈[-2，2]-----------（10分）
故当x=0时，即点P为椭圆短轴端点时，

PF1

•

PF2

有最小值-2----（12分）
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，

PF1

•

PF2

有最大值1．--------（14分）

点评：本题主要了向量在几何中的应用、椭圆的定义．点P满足|PF₁|+|PF₂|=|F₁F₂|，P的轨迹是线段F₁F₂；点P满足|PF₁|+|PF₂|为常数，且大于线段|F₁F₂|的长，P的轨迹是椭圆；小于线段|F₁F₂|的长，P点无轨迹．