Question

有A、B、C、D、E五支足球队参加某足球邀请赛，比赛采用单循环制（每两队都要比赛一场），每场比赛胜队得3分，负队得0分；若为平局则双方各得1分．已知任何一个队打胜、打平或被打败的概率都是

1

3

．
（1）求打完全部比赛A队取得3分的概率；
（2）求打完全部比赛A队胜的次数多于负的次数的概率．

Answer 1

分析：（1）由比赛规则知，打完比赛，A队取得3分的情况有二：“A队平三场，负一场”、“A队赢一场，负三场”，由公式求出此两事件的概率和即可；
（2）事件“打完全部比赛A队胜的次数多于负的次数”包括事件“A队胜一场，平三场”，“A队胜两场，负一场，平一场”，“A队胜三场，另一场负或平”，“A队胜四场”分别求出这四个事件的概率，再求出它们的和即可得到事件“打完全部比赛A队胜的次数多于负的次数”的概率．

解答：解：（1）由题意，A队取得3分的情况有二：“A队平三场，负一场”、“A队赢一场，负三场”，故其概率为

C

1 4

1

3

×(

1

3

)3+

C

3 4

(

1

3

)3

1

3

=

8

81

（2）由于事件“打完全部比赛A队胜的次数多于负的次数”包括事件“A队胜一场，平三场”，“A队胜两场，负一场，平一场”，“A队胜三场，另一场负或平”，“A队胜四场”，先分别求各个事件的概率：
A胜1场，另3场平  

C

1 4

1

3

(

1

3

)3；
A胜2场，另2场一负一平或两平 

C

2 4

(

1

3

)2[

C

1 2

1

3

×

1

3

+(

1

3

)2]； 
A胜3场，另一场为负或平

C

3 4

(

1

3

)3(

1

3

+

1

3

)；
A胜4场 (

1

3

)4
综上，事件“打完全部比赛A队胜的次数多于负的次数”概率为

C

1 4

1

3

(

1

3

)3+

C

2 4

(

1

3

)2[

C

1 2

1

3

×

1

3

+(

1

3

)2]+

C

3 4

(

1

3

)3(

1

3

+

1

3

)+(

1

3

)4=

31

81

点评：本题考查相互独立事件的概率乘法公式，解题的关键是正确理解所研究的事件，分清事件的类型，确定求其概率的模型，熟练掌握各类概率模型的求法公式对求解本题也很关键，本题考查了分类讨论的思想