Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=1和x=-1时取得极值，且f（1）=-1．
（1）试求常数a、b、c的值；
（2）试求f（x） 的单调区间；
（3）试判断x=±1时函数取极小值还是极大值，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=1和x=-1时取得极值
∴f′（1）=f′（-1）=0，
∴3a+2b+c=0，①3a-2b+c=0．②
又f（1）=-1，∴a+b+c=-1．③
由①②③解得a=，b=0，c=-．
（2）f（x）=x³-x，∴f′（x）=（x-1）（x+1）．
令f′（x）＞0，可得x＜-1或x＞1；令f′（x）＜0，可得-1＜x＜1．
∴函数的单调增区间为（-∞，-1），（1，+∞），单调减区间为（-1，1）
（3）由（2）知，函数的单调增区间为（-∞，-1），（1，+∞），单调减区间为（-1，1）
∴x=-1时，f（x）有极大值；x=1时，f（x）有极小值．
分析：（1）求导函数，利用极值点必为f′（x）=0的根建立起由极值点x=±1所确定的相关等式，运用待定系数法确定a、b、c的值．
（2）求导函数，并分解因式，讨论x的取值决定f′（x）的正负，从而可得函数的增减性单调区间；
（3）利用函数的单调性，可确定函数的极值．
点评：本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及用待定系数法求函数解析式的能力，考查学生的计算能力．