Question

20．已知f（x）=$\frac{{{{log}_2}x-1}}{{2{{log}_2}x+1}}$（x＞2），已知f（x₁）+f（2x₂）=$\frac{1}{2}$，则f（x₁x₂）的最小值=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 化简f（x）=$\frac{{{{log}_2}x-1}}{{2{{log}_2}x+1}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$•$\frac{1}{2lo{g}_{2}x+1}$；从而可得f（x₁）+f（2x₂）=$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$$\frac{1}{2lo{g}_{2}{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$$\frac{1}{2lo{g}_{2}2{x}_{2}+1}$=$\frac{1}{2}$，从而可得$\frac{1}{lo{g}_{2}（2{x}_{1}^{2}）}$+$\frac{1}{lo{g}_{2}（8{x}_{2}^{2}）}$=$\frac{1}{3}$；由不等式的性质可得log₂（x₁x₂）≥4；故f（x₁x₂）=$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$•$\frac{1}{2log（{x}_{1}{x}_{2}）+1}$≥$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$•$\frac{1}{9}$=$\frac{1}{3}$．

解答 解：f（x）=$\frac{{{{log}_2}x-1}}{{2{{log}_2}x+1}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$•$\frac{1}{2lo{g}_{2}x+1}$；
f（x₁）+f（2x₂）=$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$$\frac{1}{2lo{g}_{2}{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$$\frac{1}{2lo{g}_{2}2{x}_{2}+1}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{2lo{g}_{2}{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{2lo{g}_{2}2{x}_{2}+1}$=$\frac{1}{3}$；
即$\frac{1}{lo{g}_{2}（2{x}_{1}^{2}）}$+$\frac{1}{lo{g}_{2}（8{x}_{2}^{2}）}$=$\frac{1}{3}$；
∴$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{lo{g}_{2}（2{x}_{1}^{2}）}$+$\frac{1}{lo{g}_{2}（8{x}_{2}^{2}）}$=$\frac{lo{g}_{2}（2{x}_{1}^{2}）+lo{g}_{2}（8{x}_{2}^{2}）}{lo{g}_{2}（2{x}_{1}^{2}）lo{g}_{2}（8{x}_{2}^{2}）}$≥$\frac{lo{g}_{2}（2{x}_{1}^{2}）+lo{g}_{2}（8{x}_{2}^{2}）}{（\frac{lo{g}_{2}（2{x}_{1}^{2}）+lo{g}_{2}（8{x}_{2}^{2}）}{2}）^{2}}$=$\frac{4}{lo{g}_{2}（4{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}$；
∴log₂（4x₁x₂）²≥12；
∴log₂（x₁x₂）≥4；
f（x₁x₂）=$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$•$\frac{1}{2log（{x}_{1}{x}_{2}）+1}$≥$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$•$\frac{1}{9}$=$\frac{1}{3}$；
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了不等式的应用及函数的单调性的应用，化简比较困难，属于中档题．