Question

设圆C上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点A仍在圆上，且直线x-y+1=0被圆C截得的弦长为2

2

．
（1）求点A′的坐标；     
（2）求圆C的标准方程．

Answer 1

分析：（1）设出点A′的坐标，利用对称知识列出方程组，求出点A′的坐标即可；     
（2）设出圆的圆心坐标，通过A在圆上，与直线x-y+1=0被圆C截得的弦长为2

2

，列出方程，求出圆的圆心坐标，然后求圆C的标准方程．

解答：解：（1）设点A′的坐标（a，b），点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称为A′，所以

b-3 a-2 =2 a+2 2 +2× b+3 2 =0

，
解得

a= 6 5 b= 7 5

，点A′的坐标（

6

5

，

7

5

）；     
（2）因为圆的圆心在x+2y=0，所以设圆的圆心坐标为（-2a，a），所以圆的半径为：

(2+2a)2+(3-a)2

，
因为直线x-y+1=0被圆C截得的弦长为2

2

，所以(

|-2a-a+1|

2

)2+(

2

)2=(

(2+2a)2+(3-a)2

)2，
解得a=-3或a=-7，
所以圆的圆心坐标为（6，-3）时，圆的半径为：

52

；圆的方程为：（x-6）²+（y+3）²=52．
圆心坐标为（14，-7）时，圆的半径为：

244

，所求圆的方程为：（x-14）²+（y+7）²=244，

点评：本题考查对称点的坐标的求法，圆的标准方程的求法，考查计算能力．