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若函数f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在x=±1处的切线的斜率为-1,有以下命题:
(1)f(x)的解析式为:f(x)=x3-4x,x∈[-2,2]
(2)f(x)的极值点有且仅有一个
(3)f(x)的最大值与最小值之和等于零
其中假命题个数为( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【答案】分析:首先利用导数的几何意义及函数f(x)过原点,列方程组求出f(x)的解析式;然后根据奇函数的定义判断函数f(x)的奇偶性,且由f′(x)的最小值求出k的最大值,则命题(1),(3)得出判断;最后令f′(x)=0,求出f(x)的极值点,进而求得f(x)的单调区间与最值,则命题(2)得出判断.
解答:解:函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象过原点,可得c=0;
又f′(x)=3x2+2ax+b,且f(x)在x=±1处的切线斜率均为-1,
则有 ,解得a=0,b=-4.
所以f(x)=x3-4x,f′(x)=3x2-4.
(1)可见f(x)=x3-4x,因此(1)正确;
(2)令f′(x)=0,得x=±.因此(2)不正确;
所以f(x)在[-]内递减,
(3)f(x)的极大值为f(-)=,极小值为f( )=-,两端点处f(-2)=f(2)=0,
所以f(x)的最大值为M=,最小值为m=-,则M+m=0,因此(3)正确.
故选B.
点评:本题主要考查导数的几何意义及利用导数研究函数单调性、最值的方法.
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x
,则
 
lim
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等于(  )

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