Question

已知函数f(x)=2

3

cos2x+2sinxcosx-m(x∈R)．在区间[0，

π

2

]上，函数f（x）最大值为2．
（1）求实数m的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边是a，b，c．若A为锐角，且满足f（A）=0，sinB=3sinC，△ABC面积为

3 3

4

，求边长a．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理,余弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）利用两角和公式和倍角公式对函数解析式化简整理，利用三角函数的性质表示出函数的最大值，进而求得m．
（2）把f（A）代入f（x）的解析式，求得A的值，利用正弦定理和已知等式求得b和c的关系式，进而根据面积公式求得另一个b和c的关系式，最后联立求得a．

解答： 解：（1）∵f(x)=2

3

cos2x+2sinxcosx-m=

3

(cosx+1)+sin2x-m
∴f(x)=2sin(2x+

π

3

)+

3

-m，
∵x∈[0，

π

2

]，所以

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

∴f(x)在2x+

π

3

=

π

2

时取得最大值．f（

π

2

）=2+

3

-m=2
∴m=

3

．
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+

π

3

），f（A）=0，
∴f（A）=2sin（2A+

π

3

）=0，
∴2A+

π

3

=kπ，即A=

kπ

2

-

π

6

，k∈Z，
∵0＜A＜

π

2

，
∴A=

π

3

，
∵sinB=3sinC，
∴由正弦定理知，b=3c，①
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bcsin

π

3

=

3 3

4

，
∴bc=3，②
由①②解得b=3，c=1，
∴a=

b2+c2-2bccosA

=

32+1-2×3×1×cos π 3

=

7

．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，三角函数恒等变换的应用，三角函数的性质．