Question

已知直线y=x-4与抛物线y²=2px（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB，求抛物线的方程．

Answer 1

解：设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
将直线y=x-4与抛物线y²=2px（p＞0）可得：x²-（2p+8）x+16=0
∴x₁+x₂=2p+8，x₁x₂=16
∵OA⊥OB
∴
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴16+（x₁-4）（x₂-4）=0
∴16+x₁x₂-4（x₁+x₂）+16=0
∴16+16-4（2p+8）+16=0
∴p=2
∴抛物线的方程为y²=4x
分析：将直线方程与抛物线方程联立，根据韦达定理可求得x₁x₂和y₁y₂的关于p的表达式，根据OA⊥OB可知x₁x₂+y₁y₂=0，即可求得p，从而得到抛物线方程．
点评：本题以抛物线为载体，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，解题时直线与抛物线的联立是关键．