Question

已知函数g（x）=

3

4

-

1

2

sinxcosx-

3

2

sin2x，将其图象向左移

π

4

个单位，并向上移

1

2

个单位，得到函数f(x)=acos2(x+φ)+b(a＞0，b∈R，|φ|≤

π

2

)的图象．
（1）求实数a，b，φ的值；
（2）设函数φ（x）=g（x）-

3

f(x)，x∈[0，

π

2

]，求函数φ（x）的单调递增区间和最值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的三角函数以及两角和的正弦函数，通过函数的图象变换，利用变换后的是的表达式，求实数a，b，φ的值；
（2）求出函数φ（x）=g（x）-

3

f(x)，x∈[0，

π

2

]的表达式，利用正弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间，通过增区间求解函数的最值．

解答：解：（1）依题意g（x）=

3

4

-

1

2

sinxcosx-

3

2

sin2x=

3

4

cos2x-

1

4

sin2x=

1

2

sin(

π

3

-2x)，
∴g(x)=

1

2

sin(

π

3

-2x)，将其图象向左移

π

4

个单位，并向上移

1

2

个单位，得：

f(x)= 1 2 sin( π 3 -2(x+ π 4 ))+ 1 2 = 1 2 sin(-2x- π 6 )+ 1 2 = 1 2 cos(2x+ 2π 3 )+ 1 2 =cos2(x+ π 3 )

∵f（x）=acos²（x+φ）+b
∴a=1，b=0
（2）φ（x）=g（x）-

3

f（x）
=

1

2

sin（2x+

2π

3

）-

3

2

cos（2x+

2π

3

）-

3

2

=sin（2x+

π

3

）-

3

2

，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得：x∈[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z
∵x∈[0，

π

2

]，
∴φ（x）的单调增区间为[0，

π

12

]，
当x=

π

12

时，函数的最大值为：1-

3

2

，
当x=

π

2

时，函数的最小值为：-

3

，
函数的值域为：[-

3

，1-

3

2

]．

点评：本题考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数以及二倍角公式的应用，正弦函数的单调性与函数的最值，考查计算能力．