Question

1．已知函数f（x）是奇函数，当x＜0，f（x）=-x²+x．若不等式f（x）-x≤2log_ax（a＞0，a≠1）对?x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]恒成立，则实数a的取值范围是[$\frac{1}{4}$，1）．

Answer 1

分析 先求出f（x）在x＞0的解析式，不等式f（x）-x≤2log_ax（a＞0，a≠1）对?x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]恒成立，转化为log_a$\sqrt{a}$≤log_a$\frac{1}{2}$，分类讨论即可．

解答 解：函数f（x）是奇函数，当x＜0，f（x）=-x²+x
∴f（-x）=-f（x），
设x＞0，则-x＜0，
∴f（-x）=-x²-x，
∴f（x）=x²+x，
∵不等式f（x）-x≤2log_ax（a＞0，a≠1）对?x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]恒成立，
∴x²+x-x≤2log_ax（a＞0，a≠1）对?x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]恒成立，
∴x²≤log_ax²，
∴（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²≤log_a（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²，
∴log_a$\sqrt{a}$=$\frac{1}{2}$≤log_a$\frac{1}{2}$，
当a＞1时，$\sqrt{a}$≤$\frac{1}{2}$，解得a≤$\frac{1}{4}$，此时无解，
当0＜a＜1时，$\sqrt{a}$≥$\frac{1}{2}$，解得a≥$\frac{1}{4}$，此时$\frac{1}{4}$≤a＜1，
综上所述a的取值范围为[$\frac{1}{4}$，1）．
故答案为：[$\frac{1}{4}$，1）．

点评 本题是恒成立问题，通过研究函数的单调性，借助于最值求出参数的范围．