Question

11．平面直角坐际系O-xy中，$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{m}$=x$\overrightarrow{i}$+y$\overrightarrow{j}$（其中$\overrightarrow{i}$、$\overrightarrow{j}$分别为x轴y轴正方向上的单位向量），有下列命题：
①若|$\overrightarrow{m}$+2$\overrightarrow{i}$-2$\overrightarrow{j}$|=1，则|$\overrightarrow{m}$-2$\overrightarrow{i}$-2$\overrightarrow{j}$|的最小值为3；
②若x＞0，y＞0且|$\overrightarrow{m}$-4$\overrightarrow{j}$|=|$\overrightarrow{m}$+2$\overrightarrow{i}$|，则${\;}^{\frac{1}{x}+\frac{2}{y}}$的最小值为2$\sqrt{2}$；
③若|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{i}$|+|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{i}$|=4，则|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{i}$|的最大值为3；
④设$\overrightarrow{OM}$=-$\overrightarrow{i}$+3$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{ON}$=2$\overrightarrow{i}$+3$\overrightarrow{j}$，若$\overrightarrow{OQ}$=α$\overrightarrow{OM}$+β$\overrightarrow{ON}$（其中α+β=1），若向量$\overrightarrow{PQ}⊥\overrightarrow{i}$且|$\overrightarrow{PQ}$|=|$\overrightarrow{OP}$+3$\overrightarrow{j}$|，
则动点P的轨迹是抛物线．
其中你认为正确的所有命题的序号为①③④．

Answer 1

分析 对于①，根据向量的坐标运算和向量的模的计算得到|$\overrightarrow{m}$-2$\overrightarrow{i}$-2$\overrightarrow{j}$|表示点（2，2）到圆（x+2）²+（y-2）²=1的距离，即可求出最小值；
对于②，根据向量模的计算得到x+2y=3，再由基本不等式即可求出最小值；
对于③，根据向量模的计算得到椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{i}$|的表示椭圆上点到（1，0）的距离，即可求出最大值；
对于④，根据向量的坐标运算和向量垂直的条件，以及向量模的计算，得到y=-$\frac{1}{12}$x²，则动点P的轨迹是抛物线．

解答 解：对于①，|$\overrightarrow{m}$+2$\overrightarrow{i}$-2$\overrightarrow{j}$|=1，$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{m}$=x$\overrightarrow{i}$+y$\overrightarrow{j}$，其中$\overrightarrow{i}$、$\overrightarrow{j}$分别为x轴y轴正方向上的单位向量，
∴$\overrightarrow{i}$=（1，0），$\overrightarrow{j}$=（0，1），
∴$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{m}$=x$\overrightarrow{i}$+y$\overrightarrow{j}$=（x，y），
∴|（x+2）$\overrightarrow{i}$+（y-2）$\overrightarrow{j}$|=1，
∴（x+2）²+（y-2）²=1，
∴|$\overrightarrow{m}$-2$\overrightarrow{i}$-2$\overrightarrow{j}$|²=（x-2）²+（y-2）²，
即表示点（2，2）到圆（x+2）²+（y-2）²=1的距离，
其最小距离为3，故①正确，
对于②|$\overrightarrow{m}$-4$\overrightarrow{j}$|=|$\overrightarrow{m}$+2$\overrightarrow{i}$|，
则x²+（y-4）²=（x+2）²+y²，
即x+2y=3，
则$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{3}$（x+2y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）=$\frac{1}{3}$（3+$\frac{2y}{x}$+$\frac{x}{y}$）≥$\frac{1}{3}$（3+2$\sqrt{2}$）=1+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，故②不正确；
对于③|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{i}$|+|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{i}$|=4，
∴$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x+1）+{y}^{2}}$=4，
表示为点（x，y）到点（1，0）与（-1，0）的距离之和为4，
即而点（x，y）椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的上的点，
则|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{i}$|的表示椭圆上点到（1，0）的距离，最大值为3，故③正确，
对于④设$\overrightarrow{OM}$=-$\overrightarrow{i}$+3$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{ON}$=2$\overrightarrow{i}$+3$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{OQ}$=α$\overrightarrow{OM}$+β$\overrightarrow{ON}$（其中α+β=1），
∴$\overrightarrow{OQ}$=α$\overrightarrow{OM}$+β$\overrightarrow{ON}$=α（-$\overrightarrow{i}$+3$\overrightarrow{j}$）+β（2$\overrightarrow{i}$+3$\overrightarrow{j}$）=（-α+2β）$\overrightarrow{i}$+3（α+β）$\overrightarrow{j}$=（-α+2β）$\overrightarrow{i}$+3$\overrightarrow{j}$，
∴$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{OQ}$-$\overrightarrow{OP}$=（-α+2β-x）$\overrightarrow{i}$+（3-y）$\overrightarrow{j}$，
∵向量$\overrightarrow{PQ}⊥\overrightarrow{i}$，
∴-α+2β-x=0，
∵|$\overrightarrow{PQ}$|=|$\overrightarrow{OP}$+3$\overrightarrow{j}$|=|（x$\overrightarrow{i}$+（y+3）$\overrightarrow{j}$|
∴（-α+2β-x）²+（3-y）²=x²+（y+3）²，
即y=-$\frac{1}{12}$x²，则动点P的轨迹是抛物线，故④正确，
故答案为：①③④

点评 本题考查向量的坐标表示及向量的模的计算公式，向量的数量积的运算，圆锥曲线的定义，基本不等式综合性较强，知识点覆盖广阔，属于难题．