【题目】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.
求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)直线A1F∥平面ADE.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】试题分析:(1)由三棱柱得CC1⊥平面ABC,因此CC1⊥AD,进而可得AD⊥平面BCC1B1,根据面面垂直的判定定理可得平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)由题意得A1F⊥B1C1,又由CC1⊥平面A1B1C1,得CC1⊥A1F,所以A1F⊥平面BCC1B1,又,AD⊥平面BCC1B1, 所以A1F∥AD,根据线面平行的判定定理可得直线A1F∥平面ADE.
试题解析:
(1)因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,
所以CC1⊥平面ABC,
又因为AD平面ABC,
所以CC1⊥AD.
因为AD⊥DE,CC1,DE平面BCC1B1,且CC1∩DE=E,
所以AD⊥平面BCC1B1,
又因为AD平面ADE,
所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,
所以A1F⊥B1C1,
又CC1⊥平面A1B1C1,且A1F平面A1B1C1,
所以CC1⊥A1F,
又因为CC1,B1C1平面BCC1B1,且CC1∩B1C1=C1,
所以A1F⊥平面BCC1B1,
由(1)知,AD⊥平面BCC1B1,
所以A1F∥AD,
又因为AD平面ADE,A1F平面ADE,
所以直线A1F∥平面ADE.
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【题目】国际奥委会将于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运
会举办地。目前德国汉堡、美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出。某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度,选了某小区的100位居民调查结果统计如下:
支持 | 不支持 | 合计 | |
年龄不大于50岁 | 80 | ||
年龄大于50岁 | 10 | ||
合计 | 70 | 100 |
(1)根据已有数据,把表格数据填写完整;
(2)能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关?
(3)已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性,其中2位是女教师,现从这5名女性中随机抽取3人,求至多有1位教师的概率.
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【题目】如图,正四棱锥P-ABCD中,底面边长为2,侧棱长为,M,N分别为AB,BC的中点,以O为原点,射线OM,ON,OP分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.若E,F分别为PA,PB的中点,求A,B,C,D,E,F的坐标.
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【题目】如图,已知四棱锥的底面为矩形,D为
的中点,AC⊥平面BCC1B1.
(Ⅰ)证明:AB//平面CDB1;
(Ⅱ)若AC=BC=1,BB1=,
(1)求BD的长;
(2)求三棱锥C-DB1C1的体积.
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【题目】成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)数列{bn}的前n项和为Sn,求证:数列是等比数列.
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【题目】【2016高考江苏卷】已知函数.设
.
(1)求方程的根;
(2)若对任意,不等式
恒成立,求实数
的最大值;
(3)若,函数
有且只有1个零点,求
的值。
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【题目】若有穷数列(
是正整数),满足
即
(
是正整数,且
),就称该数列为“对称数列”。例如,数列
与数列
都是“对称数列”.
(1)已知数列是项数为9的对称数列,且
,
,
,
,
成等差数列,
,
,试求
,
,
,
,并求前9项和
.
(2)若是项数为
的对称数列,且
构成首项为31,公差为
的等差数列,数列
前
项和为
,则当
为何值时,
取到最大值?最大值为多少?
(3)设是
项的“对称数列”,其中
是首项为1,公比为2的等比数列.求
前
项的和
.
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【题目】【2017长沙模拟】如图,在直棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=,AA1=3,D是BC的中点,点E在棱BB1上运动.
(1)求证:AD⊥C1E;
(2)当异面直线AC,C1E所成的角为60°时,求三棱锥C1A1B1E的体积.
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