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    【题目】已知数列的前项和为，满足且，数列的前项为，满足

    （Ⅰ）设，求证：数列为等比数列；

    （Ⅱ）求的通项公式；

    （Ⅲ）若对任意的恒成立，求实数的最大值.

    【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）

    【解析】

    （Ⅰ）对递推公式变形可得，根据等比数列的定义，即可得证；

    （Ⅱ）化简可得，然后再利用裂项相消法求和，即可得到结果；

    （Ⅲ）先求出，然后再利用分组求和求出，然后再利用分离常数法，可得，最后对进行分类讨论，即可求出结果．

    解：（Ⅰ）由得，变形为：，

    ，且

    ∴数列是以首项为2，公比为的等比数列

    （Ⅱ）由

    ；

    （Ⅲ）由（Ⅰ）知数列是以首项为2，公比为的等比数列

    ∴，于是

    ∴=，由得

    从而 ， ∴

    当n为偶数时，恒成立，而，∴1

    当n为奇数时，恒成立，而，∴

    综上所述，，即的最大值为

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    (2)若规定每天中f（t）的最大值作为当天的空气污染指数,要使该市每天的空气污染指数不超过5,试求调节参数a的取值范围．

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