Question

（本小题满分14分）已知定义域为的函数是奇函数                   
⑴求函数的解析式；
⑵判断并证明函数的单调性；
⑶若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围.                                             

Answer 1

（1）（2）减函数，证明见解析（3）

解析试题分析：⑴∵为奇函数，
即 ， 解得
所以，检验得 ，满足条件.                      …4分
⑵为上的减函数
证明：设
则 
∵ ，     
    即 
 为减函数                                                     …8分
⑶∵,
∵为奇函数,,
则.
又为减函数  即恒成立,
时显然不恒成立，
所以                                           …14分
考点：本小题主要考查利用奇偶性求函数解析式，判断并证明函数的单调性，利用函数的单调性求解抽象不等式以及恒成立问题.
点评：如果奇函数在处有意义，则这一性质在解题时可以简化运算，特别好用，另外在用定义证明单调性时一定要把结果化到最简，尽量不要用已知函数的单调性来判断未知函数的单调性.解抽象不等式，关键是利用单调性“脱去”外层符号，得出具体的不等式，这一过程中要注意定义域是否有影响.