Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，且倾斜角为60°的直线l过点(0，-2

3

)和椭圆C的右焦点F．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若已知D（3，0），点M，N是椭圆C上不重合的两点，且

DM

=λ

DN

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据已知中的斜率和所过点的坐标可求得直线的方程，直线与x轴的焦点就是椭圆的右焦点，进而求得c，再利用离心率求得a．进而根据b=

a2-b2

求得b，椭圆的标准方程可得．
（Ⅱ）根据

DM

=λ

DN

可推断D，M，N三点共线，又依据D在x轴上，可分析MN与x轴重合时，根据向量的关系求得λ的值；当MN与x轴不重合时通过直线与椭圆方程联立消去x，利用韦达定理和

DM

=λ

DN

的关系求得λ的范围．最后综合答案可得．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得直线l：y=

3

x-2

3

，
∴椭圆的右焦点（2，0）∴

2

a

=

6

3

，
∴a=

6

，b=

2

，
椭圆C的方程为

x2

6

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）由

DM

=λ

DN

知，D，M，N三点共线，
又点D在x轴上，∴直线MN有以下两种情况：
①当直线MN与x轴重合时，M，N为椭圆长轴的两个端点，
由

DM

=λ

DN

，得，λ=5±2

6

；
②当直线MN与x轴不重合时，
设MN：x=my+3，由

x=my+3 x2 6 + y2 2 =1

消去x得，
（m²+3）y²+6my+3=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则y1+y2=-

6m

m2+3

①y1y2=

3

m2+3

②，
由△=（6m）²-12（m²+3）＞0得m2＞

3

2

又

DM

=λ

DN

，∴（x₁-3，y₁）=λ（x₂-3，y₂），
且λ＞0，λ≠1，∴y₁=λy₂③，
由①②③得λ+

1

λ

=

y1

y2

+

y2

y1

=

(y1+y2)2

y1y2

=10-

36

m2+3

，∵m2＞

3

2

∴2＜λ+

1

λ

＜10，解得，5-2

6

＜λ＜5+2

6

且λ≠1
综上所述，实数λ的取值范围是[5-2

6

，1)∪(1，5+2

6

]．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的关系．常需要直线与椭圆方程联立，消元后利用韦达定理找到解决问题的突破口．