若f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x-2)=-f(x),给出下列4个结论:
(1)f(2)=0;(2)f(x)是以4为周期的函数;(3)f(x)的图象关于直线x=0对称;(4)f(x+2)=f(-x).其中正确命题的序号是 .
【答案】分析:(1)由f(x-2)=-f(x),令x=2结合,f(0)=0可求f(2)
(2)由f(x-2)=-f(x)可得f(x-4)=-f(x-2)=f(x)可求函数的周期
(3)若函数关于x=0对称,则函数f(x)为偶函数,又同时为奇函数,不满足
(4)由f(x-2)=-f(x)=f(-x)可得f(x-2+4)=f(x+2)=f(-x)
解答:解:(1)∵f(x-2)=-f(x),
∴当x=2时,f(0)=-f(2)=0且由f(x)为奇函数
∴f(2)=0故(1)正确
(2)∵f(x-2)=-f(x)
∴f(x-4)=-f(x-2)=f(x)
∴函数以4为周期的周期函数,故(2)正确
(3)若函数关于x=0对称,则函数f(x)为偶函数,又同时为奇函数,则f(x)=0恒成立,不成立,故(3)错误
(4)由f(x-2)=-f(x)=f(-x)可得f(x-2+4)=f(x+2)=f(-x),故(4)正确
故答案为(1)(2)(4)
点评:本题主要考查了抽象函数性质的综合应用,解题的关键是熟练应用基本初等函数的性质,属于综合性试题