Question

【题目】如图：一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个半径为x的内接圆柱．
（1）试用x表示圆柱的体积；
（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大值是多少．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵圆锥的底面半径为2，高为6，

∴内接圆柱的底面半径为x时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为3x

因此，内接圆柱的高 h=6﹣3x；

∴圆柱的体积V=πx2（6﹣3x） （0＜x＜2）

（2）解：由（1）得，圆柱的侧面积为

S侧=2πx（6﹣3x）=6π（2x﹣x2） （0＜x＜2）

令t=2x﹣x2，当x=1时tmax=1．可得当x=1时，（ S侧）max=6π

∴当圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，侧面积有最大值为6π．

【解析】（1）根据圆锥的底面半径为2、高为6，可得内接圆柱的半径为x时，它的高h=6﹣3x，由此结合圆柱体积公式即可列出用x表示圆柱的体积的式子；（2）由（1）可得圆柱的侧面积S侧=6π（2x﹣x2），结合二次函数的单调性与最值，可得当圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，侧面积有最大值为6π．
【考点精析】利用旋转体（圆柱、圆锥、圆台）对题目进行判断即可得到答案，需要熟知常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球．