Question

19．已知向量$\overrightarrow a=（4，3）$，$\overrightarrow b=（1，2）$．
（1）设$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为θ，求cosθ的值；
（2）若$\overrightarrow a-λ\overrightarrow b$与$2\overrightarrow a+\overrightarrow b$垂直，求实数λ的值..

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的坐标表示与数量积运算，即可求出$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$的夹角余弦值；
（2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程求出λ的值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow a=（4，3）$，$\overrightarrow b=（1，2）$，则
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4×1+3×2=10，
且|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{4}^{2}{+3}^{2}}$=5，
|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{1}^{2}{+2}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
设$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为θ，则
cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{10}{5×\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）若$\overrightarrow a-λ\overrightarrow b$与$2\overrightarrow a+\overrightarrow b$垂直，
则（$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=0，
即2${\overrightarrow{a}}^{2}$+（1-2λ）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-λ${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
所以2×5²+10（1-2λ）-5λ=0，
解得λ=$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了平面向量的坐标表示与数量积运算问题，是基础题目．