【题目】某公司在新年晚会上举行抽奖活动,有甲,乙两个抽奖方案供员工选择. 方案甲:员工最多有两次抽奖机会,每次抽奖的中奖率均为 ,第一次抽奖,若未中奖,则抽奖结束,若中奖,则通过抛一枚质地均匀的硬币,决定是否继续进行第二次抽奖,规定:若抛出硬币,反面朝上,员工则获得500元奖金,不进行第二次抽奖;若正面朝上,员工则须进行第二次抽奖,且在第二次抽奖中,若中奖,则获得1000元;若未中奖,则不能获得奖金.
方案乙:员工连续三次抽奖,每次中奖率均为 ,每次中奖均可获得奖金400元.
(Ⅰ)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列;
(Ⅱ)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖,哪个方案更划算?
(Ⅲ)已知公司共有100人在活动中选择了方案甲,试估计这些员工活动结束后没有获奖的人数.
【答案】解:(Ⅰ)由题意知X可能的取值为0,500,1000, ,
,
所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为
X | 0 | 500 | 1000 |
P |
(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,方案甲抽奖所获奖金X的均值 ,(6分)
若选择方案乙进行抽奖中奖次数ξ~B(3, ),
则 ,
抽奖所获奖金X′的均值E(X′)=E(400ξ)=400E(ξ)=480,
因边E(X)>E(ξ),
故选择方案甲较划算.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知选择方案甲不获奖的概率为 ,
这些员工不获奖的人数Y~B(100, ),
,故这些员工不获奖的人数约为28人
【解析】(Ⅰ)由题意知X可能的取值为0,500,1000,分别求出相应的概率,由此能求出某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列.(Ⅱ)求出方案甲抽奖所获奖金X的均值,选择方案乙进行抽奖中奖次数ξ~B(3, ),从而抽奖所获奖金X′的均值E(X′)=E(400ξ)=400E(ξ)=480,由此得到选择方案甲较划算.(Ⅲ)选择方案甲不获奖的概率为 ,这些员工不获奖的人数Y~B(100, ),由此能求出这些员工不获奖的人数.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用离散型随机变量及其分布列的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握在射击、产品检验等例子中,对于随机变量X可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一个值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,则称表为离散型随机变量X 的概率分布,简称分布列.
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【题目】已知函数f(x)=xex﹣a(lnx+x).
(1)若函数f(x)恒有两个零点,求a的取值范围;
(2)若对任意x>0,恒有不等式f(x)≥1成立. ①求实数a的值;
②证明:x2ex>(x+2)lnx+2sinx.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校进行理科、文科数学成绩对比,某次考试后,各随机抽取100名同学的数学考试成绩进行统计,其频率分布表如下.
分组 | 频数 | 频率 | 分组 | 频数 | 频率 | |
[135,150] | 8 | 0.08 | [135,150] | 4 | 0.04 | |
[120,135) | 17 | 0.17 | [120,135) | 18 | 0.18 | |
[105,120) | 40 | 0.4 | [105,120) | 37 | 0.37 | |
[90,105) | 21 | 0.21 | [90,105) | 31 | 0.31 | |
[75,90) | 12 | 0. 12 | [75,90) | 7 | 0.07 | |
[60,75) | 2 | 0.02 | [60,75) | 3 | 0.03 | |
总计 | 100 | 1 | 总计 | 100 | 1 |
理科 文科
(Ⅰ)根据数学成绩的频率分布表,求文科数学成绩的中位数的估计值;(精确到0.01)
(Ⅱ)请填写下面的列联表,并根据列联表判断是否有90%的把握认为数学成绩与文理科有关:
数学成绩120分 | 数学成绩<120分 | 合计 | |
理科 | |||
文科 | |||
合计 | 200 |
参考公式与临界值表:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | ||
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】已知直线l的参数方程是 (t是参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ=4cos(θ+ ).
(1)判断直线l与曲线C的位置关系;
(2)过直线l上的点作曲线C的切线,求切线长的最小值.
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【题目】已知函数,下列命题正确的有_______.(写出所有正确命题的编号)
①是奇函数;
②在上是单调递增函数;
③方程有且仅有1个实数根;
④如果对任意,都有,那么的最大值为2.
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【题目】已知圆经过两点,且圆心在直线上.
(1)求圆的方程;
(2)已知过点的直线与圆相交截得的弦长为,求直线的方程;
(3)已知点,在平面内是否存在异于点的定点,对于圆上的任意动点,都有为定值?若存在求出定点的坐标,若不存在说明理由.
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