Question

19．已知S_n=$\frac{1}{5}$+$\frac{2}{{5}^{2}}$+$\frac{1}{{5}^{3}}$+$\frac{2}{{5}^{4}}$+…+$\frac{1}{{5}^{2n-1}}$+$\frac{2}{{5}^{2n}}$（n∈N^*），求$\underset{lim}{n→∞}$S_n．

Answer 1

分析 利用分组求和法把原式分解为S_n=（$\frac{1}{5}+\frac{1}{{5}^{3}}+\frac{1}{{5}^{5}}+…+\frac{1}{{5}^{2n-1}}$）+（$\frac{2}{{5}^{2}}+\frac{2}{{5}^{4}}+\frac{2}{{5}^{6}}+…+\frac{2}{{5}^{2n}}$），由此利用无穷递缩等比数列的性质能求出这个数列的前n项和的极限值．

解答 解：∵S_n=$\frac{1}{5}$+$\frac{2}{{5}^{2}}$+$\frac{1}{{5}^{3}}$+$\frac{2}{{5}^{4}}$+…+$\frac{1}{{5}^{2n-1}}$+$\frac{2}{{5}^{2n}}$（n∈N^*），
∴S_n=（$\frac{1}{5}+\frac{1}{{5}^{3}}+\frac{1}{{5}^{5}}+…+\frac{1}{{5}^{2n-1}}$）+（$\frac{2}{{5}^{2}}+\frac{2}{{5}^{4}}+\frac{2}{{5}^{6}}+…+\frac{2}{{5}^{2n}}$）
=$\frac{\frac{1}{5}（1-\frac{1}{2{5}^{n}}）}{1-\frac{1}{25}}$+$\frac{\frac{2}{25}（1-\frac{1}{2{5}^{n}}）}{1-\frac{1}{25}}$，
∴$\underset{lim}{n→∞}$S_n=$\underset{lim}{n→∞}$[$\frac{\frac{1}{5}（1-\frac{1}{2{5}^{n}}）}{1-\frac{1}{25}}$+$\frac{\frac{2}{25}（1-\frac{1}{2{5}^{n}}）}{1-\frac{1}{25}}$]=$\frac{\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{25}}+\frac{\frac{2}{25}}{1-\frac{1}{25}}$=$\frac{7}{24}$．

点评 本题考查数列的极限值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．