Question

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，求证：A=2B的充要条件是a²=b（b+c）．

Answer 1

分析 由三角函数公式和正弦定理结合三角形的知识，分别证明充分性和必要性可得．

解答 证明：（1）充分性：∵a²=b（b+c），
∴由正弦定理可得sin²A=sinB（sinB+sinC），
∴$\frac{1-cos2A}{2}$=$\frac{1-cos2B}{2}$+sinBsin（A+B），
∴cos2B-cos2A=sinBsin（A+B），
∴sin（A+B）sin（A-B）=sinBsin（A+B），
∴sin（A-B）=sinB，∴A-B=B，即A=2B；
（2）必要性：∵A=2B，∴A-B=B，
∴sin（A-B）=sinB，∴sin（A+B）sin（A-B）=sinBsin（A+B），
∴cos2B-cos2A=sinBsin（A+B），
∴$\frac{1-cos2A}{2}$=$\frac{1-cos2B}{2}$+sinBsin（A+B），
∴sin²A=sinB（sinB+sinC），
由正弦定理可得a²=b（b+c）．

点评 本题考查充要条件的证明，涉及解三角形和三角函数公式的综合应用，属中档题．