Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a、b∈R）．
（I）若函数f（x）在x=0，x=4处取得极值，且极小值为-1，求f（x）的解析式；
（II）若x∈[0，1]，函数f（x）图象上的任意一点的切线斜率为k，当k≥-1恒成立时，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（I）由f′（x）=-3x²+2ax得
∴得a=6．（3分）
当x＜0，f′（x）＜0．当0＜x＜4时，f′（x）＞0．
故当x=0时，f（x）达到极小值f（0）=b，∴b=-1．
∴f（x）=-x³+6x²-1；（6分）
（II）当x∈[0，1]时，
k=f′（x）=-3x²+2ax≥-1恒成立，
即令g（x）=3x²-2ax-1≤0
对一切x∈[0，1]恒成立，（9分）
只需即a≥1．
所以，实数a的取值范围为[1，+∞）．（12分）
分析：（I）通过求函数的导数，函数f（x）在x=0，x=4处取得极值，就是x=0，x=4时导数为0，求出a，利用极小值为-1，求出b，可得f（x）的解析式；
（II）x∈[0，1]，函数f（x）图象上的任意一点的切线斜率为k，k≥-1恒成立，就是导函数的值域大于-1恒成立，再用二次函数根与系数的关系，求实数a的取值范围．
点评：本题考查待定系数法求函数解析式，函数恒成立问题，利用导数研究函数的极值，二次函数根与系数的关系，是中档题．