Question

在平行四边形OABC中，已知过点C的直线与线段OA，OB分别相交于点M，N．若

OM

=x

OA

，

ON

=y

OB

．
（1）求证：x与y的关系为y=

x

x+1

；
（2）设f(x)=

x

x+1

，定义函数F(x)=

1

f(x)

-1(0＜x≤1)，点列P_i（x_i，F（x_i））（i=1，2，…，n，n≥2）在函数F（x）的图象上，且数列{x_n}是以首项为1，公比为

1

2

的等比数列，O为原点，令

OP

=

OP1

+

OP2

+…+

OPn

，是否存在点Q（1，m），使得

OP

⊥

OQ

？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设函数G（x）为R上偶函数，当x∈[0，1]时G（x）=f（x），又函数G（x）图象关于直线x=1对称，当方程G(x)=ax+

1

2

在x∈[2k，2k+2]（k∈N）上有两个不同的实数解时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题意，由平行线的性质可得

| OM |

| OA |

=

| OM |

| OB |

=

| ON |

| NB |

，结合题意可得x=

y

1-y

，所以y=

x

1+x

．
（2）由已知条件得F(x)=

x+1

x

-1=

1

x

，Pi(xi，

1

xi

)，又xn=(

1

2

)n-1，

1

xn

=2n-1，

OP

=(1+

1

2

++

1

2n-1

，1+2++2n-1)=(2-

1

2n-1

，2n-1)．由此可以推出存在Q(1，-

1

2n-1

)满足条件．
（3）由题意知G(x)=

x x+1 (0≤x≤1) 2-x 3-x (1≤x≤2)

．由G（x+2）=G（x）得G(x)=

x-2k x-2k+1 x∈[2k，2k+1] x-2k-2 x-2k-3 x∈[2k+1，2k+2]

．同由此能够推出实数a的取值范围．

解答：解：（1）根据题意，由平行线的性质可得

| OM |

| OA |

=

| OM |

| OB |

=

| ON |

| NB |

，
又由

OM

=x

OA

，

ON

=y

OB

，
则有x=

y

1-y

，从而y=

x

1+x

．
（2）F(x)=

x+1

x

-1=

1

x

，
∴Pi(xi，

1

xi

)，又xn=(

1

2

)n-1，

1

xn

=2n-1，
∴

OP

=(1+

1

2

++

1

2n-1

，1+2++2n-1)=(2-

1

2n-1

，2n-1)．
设

OP

⊥

OQ

，则

OP

•

OQ

=0．
∴2-

1

2n-1

+m(2n-1)=0，
∵n≥2，∴m=-

1

2n-1

，
故存在Q(1，-

1

2n-1

)满足条件．
（3）当x∈[0，1]时，G(x)=

x

x+1

，
又由条件得G（2-x）=G（x），
∴G（2+x）=G（-x）=G（x）．
当x∈[1，2]时，0≤2-x≤1，∴G(2-x)=

2-x

2-x+1

=

2-x

3-x

，
∵G（2-x）=G（x），
∴G(x)=

2-x

3-x

，从而G(x)=

x x+1 (0≤x≤1) 2-x 3-x (1≤x≤2)

．
由G（x+2）=G（x）得G(x)=

x-2k x-2k+1 x∈[2k，2k+1] x-2k-2 x-2k-3 x∈[2k+1，2k+2]

．
设y1=G(x)，y2=ax+

1

2

，在同一直角坐标系中作出两函数的图象，
当函数y2=ax+

1

2

图象经过点（2k+2，0）时，a=-

1

4(k+1)

．
由图象可知，当a∈[-

1

4(k+1)

，0)时，y₁与y₂的图象在x∈[2k，2k+2]（k∈N）有两个不同交点，
因此方程G(x)=ax+

1

2

在x∈[2k，2k+2]上有两个不同的解．

点评：本题考查数列的综合运用，解题时要深入挖掘题设中的隐藏含条件．