Question

2．若圆x²+y²-4x-4y-10=0上有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为2$\sqrt{2}$，则直线l斜率k的取值为（　　）

• A． 2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$
• B． 2-$\sqrt{5}$，2+$\sqrt{5}$
• C． 2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{5}$
• D． 2+$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求出圆心与半径，则圆x²+y²-4x-4y-10=0上有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2$\sqrt{2}$，等价为圆心到直线l：ax+by=0的距离d=$\sqrt{2}$，从而求直线l的斜率的取值范围．

解答 解：圆x²+y²-4x-4y-10=0可化为（x-2）²+（y-2）²=18，
则圆心为（2，2），半径为3$\sqrt{2}$；
则由圆x²+y²-4x-4y-10=0上有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2$\sqrt{2}$，
则圆心到直线l：ax+by=0的距离d=$\sqrt{2}$，
即$\frac{|2a+2b|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，则a²+b²+4ab=0，
若b=0，则a=0，故不成立，
故b≠0，则上式可化为：
1+（$\frac{a}{b}$）²+4×$\frac{a}{b}$=0，
由直线l的斜率k=-$\frac{a}{b}$，则上式可化为k²-4k+1=0，
解得k=2-$\sqrt{3}$或k=2+$\sqrt{3}$，
故选：A．

点评 本题考查了直线与圆上点的距离的应用以及直线斜率的求解，将圆x²+y²-4x-4y-10=0上有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2$\sqrt{2}$转化为圆心到直线l：ax+by=0的距离d=$\sqrt{2}$是本题解答的关键，属于中档题．