Question

已知P是直线l：y=2x-8上的动点，过P作抛物线x²=4y的两条切线，A，B为切点．
（Ⅰ）求证：直线AB过定点；
（Ⅱ）抛物线上是否存在定点C，使AC⊥BC，若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），两条切线分别为l₁，l₂，
则有l₁：xx₁=2（y+y₁），l₂：xx₂=2（y+y₂）
设P（a，2a-8），则有ax₁=2（2a-8+y₁），ax₂=2（2a-8+y₂）
∴ax₁-2y₁-2（2a-8）=0，ax₂-2y₂-2（2a-8）=0
∴（x₁，y₁），（x₂，y₂）都是方程ax-2y-2（2a-8）=0的解
∴直线AB的方程为：ax-2y-2（2a-8）=0
即（x-4）a-2y+16=0，∴x=4，y=8
∴直线AB过定点（4，8）；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AB的方程为：ax-2y-2（2a-8）=0，即y=+2a-8
代入抛物线方程可得x²-2ax+8a-32=0
∴x₁+x₂=2a，x₁x₂=8a-32
设C（m，n），则AC⊥BC时，（m-x₁，n-y₁）•（m-x₂，n-y₂）=0
∴m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+n²-n（y₁+y₂）+y₁y₂=0
∴m²-2ma+8a-32+n²-n（a²-4a+16）+4a²-32a+64=0
∴（4-n）a²-（2m-4n+24）a+m²+n²-16n+32=0
∵a∈R，∴
∴m=-4，n=4
∴抛物线上存在定点C（-4，4），使AC⊥BC．
分析：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得切线方程，设P（a，2a-8），则可得（x₁，y₁），（x₂，y₂）都是方程ax-2y-2（2a-8）=0的解，由此可得直线AB过定点；
（Ⅱ）AB的方程代入抛物线方程，设C（m，n），则AC⊥BC时，（m-x₁，n-y₁）•（m-x₂，n-y₂）=0，利用韦达定理，即可求得结论．
点评：本题考查抛物线的切线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查定点的探求，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．