Question

如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线分别相切于、两点，另一圆与圆外切、且与轴及直线分别相切于、两点．

（1）求圆和圆的方程；

（2）过点B作直线的平行线，求直线被圆截得的弦的长度．

Answer 1

（本小题满分14分）

解：（1）由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为⊙M的半

径，则M在∠BOA的平分线上，

        同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且OMN为∠BOA

的平分线，

∵M的坐标为，∴M到轴的距离为1，即⊙M的半径为1，

则⊙M的方程为，-------------------------------4分

        设⊙N的半径为，其与轴的的切点为C，连接MA、MC，

        由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC，

        即，

        则OC=，则⊙N的方程为；----------8分

    （2）由对称性可知，所求的弦长等于过A点直线MN的平行线被⊙截得的弦

的长度，此弦的方程是，即：，

圆心N到该直线的距离d=，--------------------- ------------------ -11分

则弦长=．----------------------------------------------------14分

另解：求得B（），再得过B与MN平行的直线方程，

圆心N到该直线的距离=，则弦长=．

（也可以直接求A点或B点到直线MN的距离，进而求得弦长）