Question

（本小题满分13分）设是定义在上的函数，对任意实数、，都有，且当＜0时，＞1．

（1）证明：①；

②当＞0时，0＜＜1；

③是上的减函数；

（2）设，试解关于的不等式；

 

Answer 1

【答案】

（1）略

（2）当2＜，即＞时，不等式的解集为≤≤；

当2=，即=时，≤0，不等式的解集为；

当2＞，即＜时，不等式的解集为≤≤2.

 

【解析】解：（I）证明：（1）在中，令

得即∴或，

若，则当＜0时，有，与题设矛盾，

∴

（2）当＞0时，＜0，由已知得＞1，

又，，

∴  0＜=＜1，  即＞0时，0＜＜1.

（3）任取＜，则，

∵＜0，∴＞1，又由(1)(2)及已知条件知＞0，

∴＞，∴在定义域上为减函数.

（II）=

又，在上单调递减.

∴原不等式等价于≤0

不等式可化为≤0

当2＜，即＞时，不等式的解集为≤≤；

当2=，即=时，≤0，不等式的解集为；

当2＞，即＜时，不等式的解集为≤≤2.