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(本小题满分13分)设是定义在上的函数,对任意实数,都有,且当<0时,>1.

(1)证明:①

②当>0时,0<<1;

上的减函数;

(2)设,试解关于的不等式

 

【答案】

(1)略

(2)当2<,即时,不等式的解集为

当2=,即=时,≤0,不等式的解集为

当2>,即时,不等式的解集为≤2.

 

【解析】解:(I)证明:(1)在中,令

,则当<0时,有,与题设矛盾,

(2)当>0时,<0,由已知得>1,

∴  0<=<1,  即>0时,0<<1.

(3)任取,则

<0,∴>1,又由(1)(2)及已知条件知>0,

,∴在定义域上为减函数.

(II)=

上单调递减.

∴原不等式等价于≤0

不等式可化为≤0

当2<,即时,不等式的解集为

当2=,即=时,≤0,不等式的解集为

当2>,即时,不等式的解集为≤2.

 

 

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