Question

椭圆的两焦点坐标分别为和，且椭圆过点．
（1）求椭圆方程；
（2）过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M、N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．

Answer 1

解：（1）设椭圆的方程为
∵焦点坐标为
∴a²=3+b²①
∵
∴
解得a²=4，b²=3
所以椭圆方程为
（2）设直线MN的方程为：，
联立直线MN和曲线C的方程可得：
得：，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（-2，0），
则，
则
即可得，．
分析：（1）设出椭圆的方程，根据椭圆中三个参数的关系得到a，b的一个等式，再将椭圆过的点代入得到椭圆的另一个关于a，b的等式，解方程组，得到椭圆的方程．
（2）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，消去x得到关于y的方程，利用韦达定理得到交点坐标的关系，求出的值，利用向量垂直的充要条件求出∠MAN的大小．
点评：求圆锥曲线的方程一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般将直线的方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数得到关于一个未知数的方程，利用韦达定理得到交点坐标的关系找突破口．